Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & - 1 \\ 8 & 0 & 2 \\ - 12 & 6 & - 3 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 12 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 12 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- 8 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 12 & - 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 12 & - 3 \end{array} |$ .

$- 8 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 8 (2 \cdot - 3 - 6 \cdot - 1) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 8 (- 6 - 6 \cdot - 1) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 8 (- 6 + 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 12 & 6 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 (- 3 \cdot 6 - (- 12 \cdot 2))$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 (- 18 - (- 12 \cdot 2))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 12 \cdot 2)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 (- 18 - - 24)$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 (- 18 + 24)$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 18$ et $24$ .

$- 8 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 6$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 - 2 \cdot 6$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$0 + 0 - 12$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 12$

Étape 5.3

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12$